An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field
[法] Jacques Hadamard
1． 顿悟的产生：
A. 休息假设： 顿悟之所以产生，是由于我们的头脑处于新鲜阶段，或者说不那么疲劳的阶段。Poincare没有正式采用这个词，只是在某些场合提到过这种假设；
B. 忘却假说： 顿悟之所以产生，是因为阻碍前进的障碍已经被消除，或者说，他从“牛角尖”中退出来了。思维者经常发生这样的情况，他刚起步就误入歧途，并且沿着错误的道路一直滑下去而不能自拔，但最后却摆脱了错误的前提和假设，从而茅塞顿开。
2.“很奇怪的是：在数学上，激情会要求我们对一个问题作出严格的证明，而这初看起来似乎只是理智感兴趣的事。况且这样做也似乎会使我们忘记数学的美，忘记数字的与形式的和谐，忘记几何的雅致。但在实际上，这是一种真正的美感——每一个优秀的数学家都懂得，这种美感是从属于激情的。”
3. 正如Poincare所说的，发明创造就是排除那些无用的组合，保留那些有用的组合，而有用的组合又仅仅是少数。因此我们可以说：发明就是辨别，就是选择。
4. Poincare认为，美感对于发明来说，乃是必不可少的，没有美感就不会有发明。
5. Newton: 我就是不断地想、想、想。始终如一的努力，一定是发现这个定律的必要条件。
6. 这里有一个信念，一个自觉和自愿的的信念，同时又有一种灵感和一种选择，只是这种灵感和选择是完全有意识地感觉到的，没有这种选择和灵感，即使具备了Buffon所说的耐心也是无济于事的。
7. “为了发明，你必须开阔思路”(In order to invent, one must think aside.)
“思想过于古板的人，乃是不适宜于从事发明工作的。”
8. 如果对一个问题研究了很长时间而没有结果，那就应暂时把它丢开，做些其他事情；但只是暂时地丢开，例如在几个月之后重新考虑它。
9. 最后阶段的有意识工作：证明结果、精确结果和中转结果。
10. “存在一个‘暗室时期’，在这种‘暗室时期’，你没有什么工作热情，感到味同嚼蜡，甚至要添加一些兴奋剂才行。……你会觉得这种工作本来应该是很容易做的，但又怎么也做不好，……从而产生了沮丧可急噪的情绪，直至自暴自弃地认为，似乎永远也不能把这件事做好了。”
11. Euler的例子：
Euler向瑞典王子解释演绎的特性：
凡是A都是B —— 圆A位于圆B内;
没有A是B —— 圆A与圆B不相交;
12. 对证明“素数的个数是无限的”的心理意象：（Hadmard）
[法] Jacques Hadamard
1． 顿悟的产生：
A. 休息假设： 顿悟之所以产生，是由于我们的头脑处于新鲜阶段，或者说不那么疲劳的阶段。Poincare没有正式采用这个词，只是在某些场合提到过这种假设；
B. 忘却假说： 顿悟之所以产生，是因为阻碍前进的障碍已经被消除，或者说，他从“牛角尖”中退出来了。思维者经常发生这样的情况，他刚起步就误入歧途，并且沿着错误的道路一直滑下去而不能自拔，但最后却摆脱了错误的前提和假设，从而茅塞顿开。
2.“很奇怪的是：在数学上，激情会要求我们对一个问题作出严格的证明，而这初看起来似乎只是理智感兴趣的事。况且这样做也似乎会使我们忘记数学的美，忘记数字的与形式的和谐，忘记几何的雅致。但在实际上，这是一种真正的美感——每一个优秀的数学家都懂得，这种美感是从属于激情的。”
3. 正如Poincare所说的，发明创造就是排除那些无用的组合，保留那些有用的组合，而有用的组合又仅仅是少数。因此我们可以说：发明就是辨别，就是选择。
4. Poincare认为，美感对于发明来说，乃是必不可少的，没有美感就不会有发明。
5. Newton: 我就是不断地想、想、想。始终如一的努力，一定是发现这个定律的必要条件。
6. 这里有一个信念，一个自觉和自愿的的信念，同时又有一种灵感和一种选择，只是这种灵感和选择是完全有意识地感觉到的，没有这种选择和灵感，即使具备了Buffon所说的耐心也是无济于事的。
7. “为了发明，你必须开阔思路”(In order to invent, one must think aside.)
“思想过于古板的人，乃是不适宜于从事发明工作的。”
8. 如果对一个问题研究了很长时间而没有结果，那就应暂时把它丢开，做些其他事情；但只是暂时地丢开，例如在几个月之后重新考虑它。
9. 最后阶段的有意识工作：证明结果、精确结果和中转结果。
10. “存在一个‘暗室时期’，在这种‘暗室时期’，你没有什么工作热情，感到味同嚼蜡，甚至要添加一些兴奋剂才行。……你会觉得这种工作本来应该是很容易做的，但又怎么也做不好，……从而产生了沮丧可急噪的情绪，直至自暴自弃地认为，似乎永远也不能把这件事做好了。”
11. Euler的例子：
Euler向瑞典王子解释演绎的特性：
凡是A都是B —— 圆A位于圆B内;
没有A是B —— 圆A与圆B不相交;
12. 对证明“素数的个数是无限的”的心理意象：（Hadmard）
13. “为了给出思维过程中稳定下来的中间阶段，为了描述研究过程中的新的起点，语言作为工具乃是必须的。”
14. 实际上，几乎所有的的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或者任何其他的固定符号。他们也和我一样，总是运用模糊的意象思维。
15. 人们可以自觉的训练心理过程以达到熟练运用视觉意象，听觉意象的能力。
16. Roman Jakobson：“符号是思想的必要支柱。对于已经社会化（交流阶段）的思想和正在社会化（形成阶段）的思想，最通常的符号系统乃是称之为‘语言’的系统。但对那些内在的思想，特别是创造性的思想，则往往要使用其他的符号系统了。这些符号系统更加灵活而便于使用，当然他们比起语言系统来，显得不大标准，但却更为自由，更有利于创造性思想。在所有符号系统中，我们可以区分出习惯性符号和个人的符号两类，前者是从社会习惯中借用来的，后者则只是自己使用的。个人的符号又可划分为经常性符号（这是出于个人的习惯而经常使用的）和临时性符号（这是随意拿来并在某一项创造性工作中临时使用一下的。）”
17. 不同类型的数学心理：
(1). 常识与严格数学：
a. Weierstrass的处处连续处处不可微的曲线
b. Jordan的曲线分割定理
(2). 数学专业的学生：
c. 证明结果
d. 严格结果
e. 推广结果
18. “对于定理证明过程的理解，是不是仅需一步一步地考察证明过程的每一推理步骤，判断一下它们是否正确和符合规则就够了呢？……他们还有许多更为苛刻的要求。他们不仅要知道每个证明步骤是否正确，而且还想进一步知道，这些步骤为什么必须这样联结，而不是那样联结。在他们看来，如果对这些证明步骤的安排，依然看不出什么目的性来的话，则就无法相信自己确已‘理解’了。”(Poincare)
19. 逻辑始于初始的直觉，乃是无庸质疑的。(Hadmard)
20. 学生们常常向我要研究题目，希望得到指导，我也常常给以指导；然而凭心而论，我认为这样的学生充其量是第二流的。究竟是什么因素制约着这样重要而困难的选择呢？这就象Poincare所告诉我们的关于发现的意义那样，我们所必须遵循的准则就是科学的审美感。
14. 实际上，几乎所有的的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或者任何其他的固定符号。他们也和我一样，总是运用模糊的意象思维。
15. 人们可以自觉的训练心理过程以达到熟练运用视觉意象，听觉意象的能力。
16. Roman Jakobson：“符号是思想的必要支柱。对于已经社会化（交流阶段）的思想和正在社会化（形成阶段）的思想，最通常的符号系统乃是称之为‘语言’的系统。但对那些内在的思想，特别是创造性的思想，则往往要使用其他的符号系统了。这些符号系统更加灵活而便于使用，当然他们比起语言系统来，显得不大标准，但却更为自由，更有利于创造性思想。在所有符号系统中，我们可以区分出习惯性符号和个人的符号两类，前者是从社会习惯中借用来的，后者则只是自己使用的。个人的符号又可划分为经常性符号（这是出于个人的习惯而经常使用的）和临时性符号（这是随意拿来并在某一项创造性工作中临时使用一下的。）”
17. 不同类型的数学心理：
(1). 常识与严格数学：
a. Weierstrass的处处连续处处不可微的曲线
b. Jordan的曲线分割定理
(2). 数学专业的学生：
c. 证明结果
d. 严格结果
e. 推广结果
18. “对于定理证明过程的理解，是不是仅需一步一步地考察证明过程的每一推理步骤，判断一下它们是否正确和符合规则就够了呢？……他们还有许多更为苛刻的要求。他们不仅要知道每个证明步骤是否正确，而且还想进一步知道，这些步骤为什么必须这样联结，而不是那样联结。在他们看来，如果对这些证明步骤的安排，依然看不出什么目的性来的话，则就无法相信自己确已‘理解’了。”(Poincare)
19. 逻辑始于初始的直觉，乃是无庸质疑的。(Hadmard)
20. 学生们常常向我要研究题目，希望得到指导，我也常常给以指导；然而凭心而论，我认为这样的学生充其量是第二流的。究竟是什么因素制约着这样重要而困难的选择呢？这就象Poincare所告诉我们的关于发现的意义那样，我们所必须遵循的准则就是科学的审美感。
1 条评论:
经典。
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